By Tammo tom Dieck

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Bifurcations in Piecewise-smooth Continuous Systems (World Scientific Series on Nonlinear Science Series a)

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10). Es gibt eine Darstellung xn+1 = j=1 λj bj . 10) eine Basis mit weniger als n Elementen. Nach Induktion gibt es n daher eine echte Relation k µk p(xk ) = 0. Das bedeutet: k=1 µk xk liegt im Kern von p und hat somit die Form µn+1 xn+1 . ✷ Erg¨ anzungen und Aufgaben 1. Aus der Analysis ist der Begriff einer Cauchy-Folge bekannt. Sei C(Q) der Vektorraum aller Cauchy-Folgen (xi | i ∈ N) aus rationalen Zahlen xi . In der Menge der reellen Zahlen hat diese Folge einen Grenzwert. Indem man jeder Cauchy-Folge ihren Grenzwert zuordnet, erh¨ alt man eine surjektive lineare Abbildung C(Q) → R, deren Kern N (Q) aus allen Nullfolgen besteht.

Dazu mußten wir aumen Basen ausw¨ahlen. Wir u in den beteiligten Vektorr¨ ¨berlegen nun, wie sich die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung ¨andert, wenn wir die Basen ¨ andern. F¨ ur den gesamten Ubersetzungsprozeß ist diese Abh¨angigkeit immer ¨ ucksichtigen. Die Basiswahl wird als etwas Zuf¨alliges und Unwichtiges zu ber¨ angesehen. Jedoch erlaubt die Freiheit der Basiswahl auf der rechnerischen Seite, durch geschickte Auswahl ein vorgegebenes Problem zu vereinfachen oder u ¨bersichtlicher zu gestalten.

Die Abbildung f ist durch die Matrix mC B (f ) eindeutig bestimmt, wenn die Basen B und C einmal fixiert sind. Die k-te Spalte ist der Koordinatenvektor von f (vk ) bez¨ uglich der Basis C. Hierin steckt, wie schon gesagt, eine Vereinbarung: Es w¨ are auch m¨ oglich, den Koordinatenvektor als k-te Zeile zu notieren. 3) R¨ aume von Abbildungen und Matrizen. Auf der Menge M (n, m) der (n, m)-Matrizen u ¨ber K definieren wir eine Addition und Skalarmultiplikation komponentenweise: (aij ) + (bij ) = (aij + bij ), λ(aij ) = (λaij ).

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