By Anton Deitmar (auth.)

Show description

Read or Download Analysis PDF

Best calculus books

Extra resources for Analysis

Sample text

ANORDNUNG 35 h) Ist 0 < x < y, so folgt x−1 > y−1 . Beweis. (a) Aus x < y folgt 0 = x − x < y − x. Die Umkehrung folgt ebenso. (b) Aus a < b folgt a + x < b + x. Aus x < y folgt b + x < b + y. Mit Hilfe der Transitivit¨at folgt daraus a + x < b + y. (c) Ist x = 0, so ist ax = 0 und 0 < by, so dass die Behauptung folgt. Sei nun also x > 0. Aus a < b folgt dann ax < bx. Aus x < y folgt außerdem bx < by. Mit Transitivit¨at folgt ax < by. (d) x < y ist a¨ quivalent zu 0 < y − x = (−x) − (−y) und dies ist a¨ quivalent zu −y < −x.

X y k Damit folgt die Behauptung. Folgerungen: n k=0 n n = 2n , k k=0 n (−1)k = 0. 11 (Geometrische Reihe). Fur ¨ jedes n ∈ N und x ∈ R, x n xk = k=0 1 gilt 1 − xn+1 1−x Beweis. Man kann diesen Satz durch Induktion nach n beweisen. Etwas schneller geht es so: n (1 − x) n k x = k=0 n k k=0 x − n k+1 x k=0 n+1 k = k=0 x − k=1 Nach Division durch (1 − x) folgt die Behauptung. xk = 1 − xn+1 . 6. 1. Es seien ∧ = und, ∨ = oder, ∇ = ausschließliches oder. Seien A, B, C Aussagen. Zeige mit Hilfe von Wahrheitstafeln: a) (A∇B)∇C ⇔ A∇(B∇C), b) A ∧ (B∇C) ⇔ (A ∧ B)∇(A ∧ C).

13. Seien A, B ⊂ R nach oben beschr¨ankt. Zeige, dass die Menge A + B = a + b : a ∈ A, b ∈ B nach oben beschr¨ankt ist und zeige sup(A + B) = sup A + sup B. 14. (Absch¨atzung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel). Zeige, dass fur ¨ reelle Zahlen x, y > 0 gilt x+y √ xy ≤ . ) Wann herrscht Gleichheit? 15. Gib fur ¨ die folgenden Funktionen f : R → R jeweils an, ob sie injektiv bzw. surjektiv sind a) f (x) = x3 − 4x, b) f (x) = 2x + |x|. , durch die Konvergenz von Cauchy-Folgen und nicht durch ¨ die Dedekind-Vollst¨andigkeit wie in diesem Text.

Download PDF sample

Rated 4.43 of 5 – based on 20 votes